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读"小学数学与数学思想方法"有感

　　黄石小数

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　　数学思想方法不同于一般的概念和技能，后者一般通过短期的训练便能掌握，而数学思想方法需要通过在教学中长期地渗透和影响才能够形成。古语云"泰山不让土壤，故能成其大；河海不择细流，故能就其深。"教师应在每堂课的教学中适时、适当地体现思想方法的教学目标，使学生在潜移默化中日积月累，通过提高数学素养达到学好数学的目的。

　　内容简介

　　本书作者王永春，作为人民教育出版社小学数学编辑室主任，长期从事小学数学教材的编写工作，致力于课程、教材的研究，对小学业数学思想方法有深入的思考和探索。基于对提高教育质量、落实教育目标的强烈责任感，作者撰写了系列文章，就有关数学思想方法在小学教学中的应用作了专门的论述。在此基础上，形成了本书。

　　全书分上下篇，上篇是对数学思想方法的系统阐述，下篇是小学数学教材中数学思想方法案例解读。

　　在上篇的案例选取中，基本出发点是尽量少出教材及练习册中常用的例子，就是想给读者多提供一些案例，以拓宽知识面、更加有利于了解和掌握思想方法、有利于中小学的衔接。有的案例是在小学知识基础上的拓展和提高，有的是中学知识的简化，可能在理解时会有一点难度。下篇的教材案例解读，没有按照思想方法分类，而是分册编写的，主要是为了方便教师查询。

　　对学生来说，数学思想方法不同于一般的概念和技能，概念与技能通常可以通过短期训练便能掌握，而数学思想方法则需要通过教师长期的渗透和影响才能够形成。教师应在每堂课的教学中适时、适当地体现思想方法的教学目标，使学生在潜移默化中日积月累，通过提高数学素养达到学好数学的目的。

　　希望数学思想方法的教学能够像春雨一样，滋润着学生的心田。

　　作者简介

　　王永春，内蒙古莫旗人。1967年9月出生。华东师范大学数学系毕业，北京师范大学教育学硕士。人民教育出版社小学数学编辑室主任、编审。从1991年至今，一直从事小学数学课程教材的研究和编写工作，参与策划、编写或主编（副主编）多套小学数学教科书、教师教学用书、教学案例等图书。现任《义务教育教科书？数学》（人教版）副主编。参与多项课题研究，主持了国家社会科学基金"十一五"规划课题《新课改后各类教材特点的比较研究》小学数学子课题。在《课程？教材？教法》、《小学数学教育》等杂志上发表了20多篇论文。

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　　01

　　关于数学建模与数学模型的内涵

　　目前，数学模型还没有一个统一的、准确的定义，一般学者认为：数学模型是为了某种目的，用字母、数字及其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。

　　由于小学数学没有复杂的数量关系和数学结构，其基本内容是以四则运算为基础的问题解决，从成人角度看数学模型过于简单，但学生自主思考、建构与解决这些问题的过程并不简单，许多问题解决过程都可以是学生再创造的过程。

　　小学生认识和理解数概念、运算、方程及各类问题解决等内容，都可以看作数学建模，即小学数学中的每个概念、每类运算都可以构成数学模型，可以从数学建模的角度学习这些内容。例如，"小强的妈妈要将2.5千克香油分装在一些玻璃瓶里，每个玻璃瓶最多可盛0.4千克香油，需要准备几个玻璃瓶？""把2升橙汁分装在容量为1/4升的小瓶里，可以装几瓶？"等等，尽管数据不同，所描述的事情不同，但都是除法的"包含除"模型：总量÷每份数=份数。又如，植树问题（在长120米的道路一侧植树，每5米植一棵，需要植多少棵树）和锯木头问题（一根长6米的木头，要锯为5段，每锯一段需要5分钟，锯完这根木头需要多长时间），问题情境不同，但都是"植树模型".鸡兔同笼问题（鸡和兔关在同一笼子里，从上面数有8个头，从下面数有26只脚，问鸡和兔各有几只）和租船问题（全班一共有38人，共租了8条船，小船乘4人，大船乘6人，每条船都坐满，大船、小船各租几条），等等，这些问题的情境不同，数据可能也不同，但都包含了"部分+部分=总量""每份数X份数=总数"这两个结构，即加法模型和乘法模型。

　　依据前面的界定，我们认为在小学阶段数学模型有三种存在形态：一是现实问题，用语言描述（不能称之为模型，但也是一种抽象和概括）；二是直观模型，用直观、形象的符号表述，例如，表征数学问题结构的示意图、线段图等；三是抽象模型，用抽象的数学语言表示数学关系和结构，在小学阶段一个数、字母、算式、方程等都可以看作一个数学抽象模型。

　　构建数学模型（简称数学建模）即指"从数学的角度，对所需研究的问题作一个模拟，舍去无关因素，保留其数学关系，以形成某种数学结构".在小学阶段，这种数学结构常用前面所说的直观模型和抽象模型表示。小学阶段的数学建模体现为：其一，能够将现实问题（情境）用直观模型表示（有时借助直观图直接求解），再用抽象式子表示；其二，在直观模型和抽象模型基础上求解问题的答案，并对答案进行检验与评价；其三，对每一幅直观图、每一个数、每一个含字母的代数式和方程，能够讲述不同现实情境的故事，进一步感悟结构相同但具体情境或问题不同的事件都能够用相同的直观图或数、含字母的代数式、方程表示，必要时可能需要修改或调整模型，再应用模型解决新问题。

　　02

　　小学生数学建模的过程分析

　　数学建模是一个复杂并具有挑战性的过程，建模的过程，实际上就是数学化的过程，是学生在数学学习中获得某种带有模型意义的数学结构的过程。一般而言，数学建模大致包括四个步骤：第一，理解问题的背景与结构；第二，对复杂的情境进行分析和简化，收集必要的数据进行归类整理；第三，找到规律并建立模型；第四，解答问题。这一建模过程如何在小学数学中落实呢？下面以经典的植树问题为例加以分析。

　　植树问题是小学阶段体现数学建模思想的经典内容之一，植树问题是一个简单的"植树模型".从植树问题到建构起"植树模型"需要一个过程，在建构"植树模型"时，应该有如下步骤：

　　1、通过"模拟"植树，整体理解题意，如"两端都要植"究竟是什么意思。

　　2、把现实世界中的"树"和"间隔"抽象看成"点"和"段".

　　3、通过画图的方式建构"点段关系":以"20米小路，每隔5米种一棵树（两端都要种）"为例，基本建构过程如下：

　　"点段"一一对应：画一个"点",再画一个"段",依此重复下去，直至达到要求的长度（线段长度的累加）。

　　4、应用"点段关系"解决实际问题：先把"求一共种多少棵树"转化为"求一共有多少条线段",即总长度÷间距=段数。例如，对于本题，可以先根据间距求出"段数",20÷5=4,此时的"4"表示4段，"棵数"等于"点数".再根据实际情况解决问题：若两端都种，则"点数=段数+1";若一端种另一端不种，则"点数=段数";若两端都不种，则"点数=段数-1".

　　5、运用模型解决其他问题，感悟模型思想。这个模型也适用于设置车站、路灯、台阶等问题，树、路灯、车站、台阶等可抽象看成"点",各种间隔可抽象看成"段","点数"与"段数"之间的数量关系结构都一样。

　　可以看到，"植树模型"本质上是乘法模型和一一对应的"点段模型"相互结合后产生的新模型。在教学中我们往往会发现，大部分学生遇到这类题目会直接列式，即用"总长度÷间距=段数"解决。找到这个基本模型对学生来说并不难，但由于没有直观图的支撑，很难通过想象发现"段数"与"点数"之间的对应关系，不能意识到求出的实际上不是"点数"而是"段数".即便有部分学生知道公式能够计算出结果，也不明了什么时候该"+1",什么时候该"-1",因而无法回到实际情境中真正解决问题，遇到其他现实问题更加无法找到对应关系。

　　出现上述情况，一方面是由于部分学生在课外已经知道或背诵了抽象数量关系（即公式），另一方面是由于小学生画图意识和能力不足，不愿意或不会通过画图表征问题情境。教师在课堂上需要正确面对学生已有的基础，根据学生的不同情况，对于不知道公式的学生，可以从现实情境到直观模型再到抽象模型，对于已经知道公式和答案的学生，可以从现实情境到抽象模型再回归直观模型进行解释，重要的是建立这三者之间的关系，借助直观模型真正理解抽象模型，综合利用乘法模型和"点段模型"解决实际问题。

　　对于路灯问题、锯木头问题、楼层问题等相关问题，一旦学生通过画图找到了"点"和"段"之间的对应关系，就会发现：抛开具体情境，这些问题的本质和结构是相同的，这样才真正有了模型的影子。

　　03

　　小学生数学建模的层次水平与教学渗透

　　在小学实践中，我们提出，小学阶段数学建模有以下几个层次、水平（如表1）

　　表1 小学生数学建模的层次、水平

　　水平

　　学生表现

　　层次

　　0

　　不理解题意，不能用任何方式表征题意或表征错误

　　1

　　理解题意，能用直观、形象的方式（如画图、列表等）正确表征题意，但不能发现规律

　　层次一：从现实问题到直观模型、抽象算式

　　2

　　理解题意，能用直观、形象的方式（如画图、列表等）正确表征题意，发现规律并转化为数量关系或符号表达式

　　层次一：从现实问题到直观模型、抽象算式

　　3

　　在水平2基础上，利用直观模型、数量关系式或符号表达式求得正确答案，检验与评价答案

　　层次二：针对直观模型、抽象算式求得结果并检验

　　4

　　列举其他不同情境的问题（故事）并能运用相同数量关系解决更多的现实问题

　　层次三：运用该模型讲述不同故事并解决其他问题

　　除植树问题、鸡兔同笼问题等经典内容以外，小学数学中的每个概念、每类运算都可以构成数学模型。在小学阶段，植树问题、鸡兔同笼问题并不要求学生的建模水平达到最高级的层次三，但对于数学基本概念、运算意义等则要求达到层次三。在概念或运算教学和问题解决教学中，如何使学生向更高层次提升？怎样在小学数学教学中有效渗透建模思想？下面以鸡兔同笼问题为例简要分析。

　　鸡兔同笼问题的基础模型是乘法模型和加法模型，是2个乘法模型和2个加法模型的综合应用，具体表述如下：

　　每只鸡的脚数×鸡的只数=鸡脚数

　　每只兔的脚数×兔的只数=兔脚数

　　兔头+鸡头=动物数之和

　　兔脚+鸡脚=动物脚数之和

　　但其根本是乘法模型，即将每份数不相同的量都转化为每份数相同的量，也就是问题解决中常用的假设法（都假设为鸡或都假设为兔，这样每份脚数都相同）：总只数×假设的脚数=假设的脚总数，再寻找假设的脚总数与实际脚总数差的来源，从而求解出答案。

　　鸡兔同笼问题出现在小学几个版本的教材中，不同教材安排的年级不同。安排在年级较低的教材更侧重画图法和尝试法，让学生经历画图、列表、尝试和不断调整的过程，从中体会解决问题的一般策略；安排在较高年级的教材则更侧重假设方法和方程法。鸡兔同笼问题的算术解法多种多样，例如，金鸡独立法、假设鸡的两只翅膀也变成两只脚、假设鸡全都飞起来（或坐地上）、兔全用双脚站立等。尽管奇思妙想的解法很多，但其本质归根结底都是假设法，而且都是先转化为乘法模型，再利用加法模型解决问题。一旦掌握了模型的本质，就可以相应地解决类似的许多问题，如储蓄罐里有1角和5角两种不同的硬币（共有多少枚硬币，价值多少元）、买成人票和儿童票两种票价的电影票（共买了几张票，花了多少元）、购买两种价钱不同的玩具（共买几个玩具，花了多少钱）等。

　　教学鸡兔同笼问题时，部分学生已经从课外渠道对于鸡兔同笼的情境问题形成了思维定式，而且通过记忆或背诵抽象的数量关系，一看到"鸡和兔子关在同一个笼子里"的情境就自动化地列式计算，貌似已经能够用抽象的算式模型解决问题，实际上并不能深刻理解其意义，从而掩盖了学生的真实水平。怎样才能暴露学生的真实水平而不让教师被学生"盲目、套用公式"的假象蒙弊呢？下面是北京第二实验小学索桂超教师设计的教学片段：

　　师：同学们，喜欢玩魔术吗？

　　生：（齐）喜欢！

　　师：索老师也特别喜欢玩魔术，今天我给大家变个魔术。有两种牌，一种牌的点数是4,另一种牌的点数是9,告诉魔术师一共翻了多少张牌，牌面点数总和是多少，魔术师就能知道翻出来几张4点和几张9点的牌。

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　　在魔术结束后，教师呈现问题："有5点和2点的牌，一共抽了12张牌，牌面点数总和为45.5点和2点的牌各有几张？"可通过画图、列表、假设等各种方法解决问题。学生的各种方法如下（具体方法的描述略）：

　　方法一：凭借数感尝试，然后调整；

　　方法二：列表尝试，假设全是5点或2点的牌；

　　方法三：先计算平均数，再做调整；

　　方法四：分组计算，再作调整。

　　在这一引入环节中，教师将"鸡兔同笼"的情境改编为有趣的扑克牌魔术，借用"鸡兔同笼"问题的模型结构，隐藏"鸡兔同笼"的问题类型，激发了学生学习和研究的兴趣。

　　完成这一任务后，教师抛出"鸡兔同笼"问题，学生自觉进行了迁移：

　　生：35个头就相当于牌的数量35张，94只脚相当于94点。

　　生：兔子其实就是4点的牌，鸡是2点的牌，因为兔子有4只脚，鸡有2只脚。

　　找到了共同的数学结构，学生就能很容易地解决问题。

　　完成"鸡兔同笼"问题后，为了让学生向更高水平迈进，教师又抛出了新的问题：

　　师：如果不使用鸡和兔这两种动物，换为其他动物或物体，你还可以创编一个类似问题吗？

　　生：狗和猫。

　　生：不可以，因为都是4只脚。

　　师：改一改。

　　生：鹅和狗。

　　生：摩托车和三轮车。

　　师：总而言之，我们只要保证什么不一样就可以了？

　　生：只要保证"脚"数不同就可以了。

　　师：不瞒大家说，今天索老师和大家玩的数学魔术就是根据"鸡兔同笼"问题改编而来的。其实你也可以像索老师一样创编出一个数学小游戏，如果你感兴趣的话，还可以搜索相关的资料，制作一个小板报，也可以写一篇小论文或小发现。

　　从上述案例中我们可以看到，尽管建模对小学生来说有一定困难，但如果教师深刻理解模型的内涵、建模的过程及学生学习的路径，就能够很好地让学生经历这个过程，从而在小学阶段有效地渗透模型思想。

　　04

　　小学阶段渗透数学建模思想的价值及建议

　　如前所述，如果我们将数学建模的内涵适当放宽，降低数学建模的要求，则在小学数学中能够渗透数学建模思想，实现数学建模所承载的教育价值呢？在渗透数学建模思想的教学过程中，需要关注哪些问题？这些都是教师设计有价值学习活动的重要前提和依据。

　　（一）小学阶段渗透数学建模思想的价值。

　　1、在建模中提升数学表达。

　　数学表达是数学学习中的重要内容。"通过数学表达，可以帮助学生不断建构对数学知识的理解，强化对数学技能的掌握，呈现数学观察、实验、猜想、运算、推理、验证等思维过程及数学问题解决的思路和方案，是聚焦学生数学核心素养发展的有效实践范式。"在建模的过程中，学生要学会用数学语言（包括图示、图表、符号等多种方式）简洁表达出数量关系或规律，这种意识和能力为学生后继的数学学习积累了重要经验。

　　2、在建模中提高抽象思维水平。

　　模型是从现实情境中高度抽象和概括得到的，小学生在建模中之所以比较困难，很大程度上是因为小学生还处于具体、形象的直观操作阶段，其抽象思维的发展还不够完善，所以应从现实情境中抽象出数学模型，再用来解决更多现实情境问题，例如，"植树模型"不仅仅解决种树问题，"鸡兔同笼模型"不仅仅解决鸡和兔子的问题，建模的过程能够帮助学生超越具体情境，向抽象思维水平迈进。

　　3、在建模中培养应用意识。

　　《义务教育课标2011》指出："应用意识有两个方面的含义：一方面，有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴含着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方式予以解决。"通过数学建模，能够促进学生了解数学与其他学科及日常生活的相互联系，深刻领悟数学的应用价值，有助于培养学生的数学应用意识和应用数学的基本能力。

　　（二）小学阶段渗透数学建模思想的几点建议。

　　学生学习能力和思维水平的提升需要依赖教师设计的好活动，尤其是在小学阶段，数学建模思想的渗透既要经历过程，又不能过高要求，同时要兼顾不同层次和水平的学生需求，这就更加需要教师的精心设计。

　　1、关注学生建模中的难点，使其充分暴露，并作为重要教学资源。

　　学生在建模过程中的每一步都有可能遇到困难，如不会画图或画出的图不能准确表征题意、观察不到规律或不会用抽象的数学语言表达、只能解决例题但不能类推到变式题目等。学生遇到的这些困难都是重要的教学资源，敏锐地发现并充分暴露学生的难点，引导学生在质疑、争论、举例、辩论、追问中逐步澄清，是突破学生学习困难的重要途径和手段。

　　2、重视直观模型（画图），不要急于套用公式解决问题。

　　建模过程中，建立直观模型（画图）是重要且关键的一步，教学中要防止急于套公式的做法。波利亚指出："即使你的题目不是一道几何题，你也可以尝试画一张图。给你的非几何题找到一个清晰的几何表示，也许是迈向解答的重要一步。"小学生处于具体、形象的思维阶段，画的图既可以是具体的实物图，也可以是抽象的线段图。随着年龄的增长，建模过程中借助的直观模型也可以慢慢由具体走向抽象。

　　3、不同学生建模的过程与能力水平不同，要正视差异。

　　学生在建模过程中表现出的不同能力水平是客观存在的，教学过程中要正视这种差异，等待学生逐步提升，不能急于求成。作为《高中课2017》提出的数学核心素养之一，数学建模对学生中学阶段继续学习的价值是不言而喻的，在小学做些渗透、让学生有些感悟和体验、尝试经历这样的过程、积累有价值的数学经验、使学生能够在中学甚至大学的学习中达到更高的建模水平，这是我们的期望。

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